Secondogenito dei sette figli di Antonio, medico già ministro degli Interni della Repubblica Romana nel 1799, e di Maria dei conti Spada di Cesi, nacque a Narni, ove fu battezzato nella cattedrale e parrocchiale di S. Giovenale il 10 giugno 1805. Essendosi nel 1807 la famiglia trasferita a Osimo, compì i primi studi di umanità e retorica presso il locale collegio "Campana". Superati gli studi classici, nel 1822 si trasferì con la famiglia a Macerata, ove s'iscrisse alla facoltà medica dell'università e fu allievo di F. Puccinotti. Conseguita la laurea nell'università di Bologna, fu dapprima assistente del Puccinotti, quindi, poiché l'incarico universitario non era retribuito, intraprese la professione di medico condotto, operando successivamente nei comuni di Montefiore, Ripatransone, Narni, Ancona.
Rimasta vacante nell'università di Bologna la cattedra di patologia, il Franceschi nel 1853 si presentò al concorso, ma la sua candidatura venne respinta a causa delle sue idee liberali e di opposizione al potere pontificio. Trascorsi due anni e resasi vacante, ancora nell'università bolognese, la cattedra di terapeutica e materia medica per la morte di F. Gozzi, tentò nuovamente la prova, la vinse e nel 1856 fu nominato titolare della cattedra, che resse fino all'anno accademico 1883-84.
Buon oratore, il Franceschi si segnalò nell'ateneo bolognese come valente insegnante. Nel 1862 assunse, in collaborazione con L. Malagodi, la direzione del periodico Il Raccoglitore medico (di cui era stato redattore il fratello Camillo dal 1848 alla morte nel 1862), che mantenne fino al 1873: in questo periodo il giornale uscì col nuovo titolo L'Ippocratico, per riassumere successivamente quello originario. Socio corrispondente della R. Accademia delle scienze di Torino, membro della R. Accademia dei Georgofili di Firenze, della Società medico-chirurgica di Bologna, del R. Istituto di incoraggiamento di Palermo, fu inoltre membro nazionale attivo della Confederazione ippocratica di Roma e prefetto delle Scuole ippocratiche in Italia.
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